Дифференцируемость НИЗОПа

Пусть $f(x, y), f'_{x}(x, y)$ непрерывны на $[a, b] \times [c, d]$. Если $F(x) = \int_c^d f(x, y) dy$ сходится, а $\int_c^d f'_{x}(x, y) dy$ сходится равномерно на $[a, b]$, то $F(x)$ дифференцируема и $$F'(x) = \left( \int_c^d f(x, y) dy \right)' = \int_c^d f'_{x}(x, y) dy$$

$$ \frac{F(x + \Delta x) - F(x)}{\Delta x} = \frac{1}{\Delta x} \int_c^d (f(x + \Delta x, y) - f(x, y)) dy = $$ $$ = \frac{1}{\Delta x} \int_c^d \left( \int_x^{x+\Delta x} f'_{t}(t, y) dt \right) dy = \frac{1}{\Delta x} \int_x^{x+\Delta x} \left( \int_c^d f'_{t}(t, y) dy \right) dt \xrightarrow{\Delta x \to 0} \int_c^d f'_{x}(x, y) dy $$